கோல இயல் பிறந்த கதை தெரியுமா?

நம்முடைய கலாச்சாரத்தில் கோலத்திற்கென்று தனி மதிப்பும் மரியாதையும் எப்பொழுதும் உண்டு. இந்தியர்கள் அனைவருமே கோலத்தை பல்வேறு விதமாக சில மாநிலங்களில் புள்ளிக் கோலம், சில மாநிலங்களில் ரங்கோலி என்று அவரவர் பண்டிகையை முன்னிறுத்தி கோலக் கலையை வரைந்து அழகுப்படுத்தி பண்டிகையைக் கொண்டாடுவது வழக்கம். அப்படி போடப்படும் கோல இயல் எப்படி பிறந்தது என்பதைப் பற்றி இப் பதிவில் காண்போம். 

பதினெட்டாம் நூற்றாண்டில் ஜெர்மனியில் இப்போது கலினின்கிரேட் என்று அழைக்கப்படும் கோனிக்ஸ் பெர்க் என்ற ஊரில் பிரேகல் என்னும் நதி ஓடியது. அதன் நடுவில் ஒரு தீவு இருந்தது. அந்த தீவையும் நதியையும் இணைக்க ஏழு பாலங்கள் இருந்தன. அதில் ஆறு பாலங்கள் வடக்கு நோக்கியும், ஒரு பாலம் கிழக்கு நோக்கியும் அமைந்திருந்தன.

வேடிக்கைக் கருதி பாலங்களின் மீது மக்கள் நடக்க ஆரம்பித்தார்கள். ஏழு பாலங்களையும் ஒருமுறை கடக்க வேண்டும் எனில் ஒரு பாலத்தை இருமுறை கடக்க வேண்டியதாகிறது. அப்போது ஒருவர் "ஒவ்வொரு பாலத்தையும் ஒருமுறை மட்டுமே நடந்து புறப்பட்ட இடத்தை மீண்டும் அடையமுடியுமா? "என்று கேள்வி எழுப்பினார்.

பாலம் எதையும் விட்டு விடவும் கூடாது. ஒரு முறைக்கு மேல் ஒவ்வொரு பாலத்தையும் கடக்கவும் கூடாது. வந்த பாலத்தின் வழியே திரும்பிப்போய் விடவும் கூடாது. 

இப்புதிர்க்கு இரு வழிகளில் தீர்க்க மக்கள் முயற்சி செய்தனர். பாலத்தின் வழியே நடந்து சென்றும், தீவின் படத்தைக் காகிதத்தில் வரைந்து பென்சில் துணைக் கொண்டும் தீர்க்க முயற்சி செய்தனர். இவ்விரு வழிகளிலும் தீர்வுகாண முடியவில்லை. 

பதினெட்டாம் நூற்றாண்டின் மிகச்சிறந்த கணித மேதையாக திகழ்ந்த லியோநார்டு யூலர்( Leonard Euler) 1736 ஆம் ஆண்டு இது முடியாத ஒன்று என்று தீர்வு கண்டார். 

தீர்வு கண்ட முறை: நிலப்பரப்புகளை புள்ளிகளாகவும், பாலங்களைப் புள்ளிகள் இணைக்கும் கோடுகள் ஆகவும் கற்பனை செய்து ஒரு பல்கோட்டுக் கோலத்தை யூலர் உருவாக்கினார். கோலத்தில் இரு புள்ளிகளை இணைக்க ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட கோடுகள் இருந்தால் அதை பல கோட்டுக் கோலம் (Multi Graph) என்போம். 

இந்தக் கோலத்தில் எந்த முனையில் இருந்து தொடங்கினாலும், மறுபடியும் அதே முனைக்கு வர வேண்டும். அதாவது பென்சிலை வரைபடத்தில் இருந்து எடுக்காமல், ஒருமுறை சென்ற கோட்டில் மறுமுறை செல்லாமல் அனைத்து கோடுகள் வழியாகவும் ஒரே ஒரு முறை மட்டும் சென்று, மீண்டும் புறப்பட்ட இடத்திற்கே வர வேண்டும்.

அதாவது இதில் யூலர் சுற்று உண்டா? இல்லையா என்று கண்டறிந்தால் போதுமானது.

யூலர் சுற்று இருந்தால் ஒரே ஒருமுறை எல்லா கோடுகள் வழியாகவும் சென்று மீண்டும் புறப்பட்ட இடத்திற்கே வர முடியும். யூலர் சுற்று இல்லையெனில் வர முடியாது. 

இக்கோலத்தில் ஒற்றைப்படைக் கோடுகள் கொண்ட புள்ளிகள் உள்ளதால் இது யூலர் சுற்றாக இருக்க முடியாது. எனவே ஒவ்வொரு பாலத்தையும் ஒரே ஒருமுறை மட்டும் கடந்து சென்று கடைசியில் புறப்பட்ட இடத்திற்கு வரவே முடியாது என்று நிரூபித்து புதிருக்கு விடையளித்தார். இதுதான் கோல இயலுக்கு வித்து மற்றும் சொத்து.